Воспитанник ростовского спортинтерната. Карьера Ковтуна началась в клубе «Луч» из Азова в 1988 году. Год спустя Юрий переходит как профессиональный игрок в ростовский СКА, а ещё 2 года спустя — в «Ростсельмаш». В 1992 году Ковтун проводит хороший сезон, чем вызывает внимание двух столичных команд — «Динамо» и «Спартака». В 1993 выбор Ковтуна пал на московское «Динамо», где он в течение многих лет был ключевым игроком команды. В 1999 он перешёл в «Спартак» и тоже быстро вписался в команду. В 2006 году по взаимной договорённости с руководством московского «Спартака», Ковтун перебирается во владикавказский «Спартак», где становится капитаном команды.
За сборную России сыграл 50 матчей, забил 2 гола и один автогол (в матче против сборной Исландии на 89-й минуте, который состоялся 14 октября 1998 года) (1994—2003). Участник матча сборная России — сборная ФИФА, посвящённого 100-летию российского футбола. Участник ЧЕ 96 (2 матча), ЧМ 02 (3 матча)